APIGatewayでカスタムドメインを利用する際の設定です。(APIマッピングは記載していません)

・ACMで発行するSSL証明書はRoute53でCNAMEを登録しています。

Aws/CertificateManager/SSL証明書発行手順を参考にSSL証明書の発行します。
この手順にて、Route53にパブリックホストゾーンにDNSレコード名が登録された状態になります。

APIGatewayにてカスタムドメイン名を作成します。
・ドメイン名：ドメイン名
・ACM証明書：手順①で発行したSSL証明書を選択する

作成が完了すると、[API Gateway ドメイン名]が発行されます。

下図のようにAレコードにAliasDNSレコードとして[API Gateway ドメイン名]を登録します。

以上で、カスタムドメイン名でAPIGatewayにWebリクエストが可能となります。

気にしたことなかったんですが、別リージョンでも同じカスタムドメイン名が作成できるんですね。
なので、予め登録(カスタムドメイン名、SSL証明書の発行やAPIマッピング)だけしておいて、Route53のレコード切り替えだけすればDR構成がとれることになります。